Pifaqor teoremi

Riyaziyyat ibtidai sinifdən orta məktəbə, orta məktəbdən ali məktəbə, liseydən ali məktəbə qədər hər bir şagirdin ən çox maraqlandığı fənlərdən biridir. Riyaziyyatın ən mühüm xüsusiyyətlərindən biri də çoxlu teoremlərin olmasıdır. Bu teoremlər riyaziyyat elmini imtiyazlı edir. Bu teoremlərdən biri Pifaqor teoremidir. Əslində Pifaqor teoremi tələbələr tərəfindən ən çox eşitilən və sevilən teoremlərdən biridir. Pifaqor teoreminin nə olduğunu, Pifaqor teoreminin sübutunun necə olduğunu birlikdə araşdıraq.

Pifaqor teoremi nədir?

Pifaqor teoremi riyaziyyatda çox vacibdir. Xüsusilə, tələbələrin yaxşı öyrənməli olduğu Pifaqor teoremi nədir? Düstur nədir? Onun necə tapıldığı ilə bağlı bütün təfərrüatlara nəzər salaq.

Pifaqor tənliyi olaraq da bilinən teorem hipotenuzun köməyi ilə düstura çevrilir. Hipotenuz düz bucağın əks tərəfidir.

Düzbucaqlı üçbucaqların tərəfləri arasındakı əlaqə Pifaqor teoremi kimi tanınır. Pifaqor teoremində düz bucağın əks tərəfi hipotenuz kimi müəyyən edilir. Burada hipotenuzun kvadratı qalan iki tərəfin kvadratlarının cəminə bərabərdir. Pifaqor teoreminin başqa bir adı Pifaqor tənliyidir. Üçbucağın tərəfləri a, b və c kimi təyin olunduqda tənliyin düsturunu daha asan yazmaq mümkün olur. Beləliklə, düstur; Bu a^2 + b^2 = c^2 kimi görünür.

Pifaqor teoremi necə yaranıb?

Teorem Pifaqorun adını daşısa da, əslində bu teoremi özü icad etməyib. Bu teorem eramızdan əvvəl 1900-1600-cü illərdə dörd Babil lövhəsində də var. Pifaqor teoremi Pifaqordan əvvəl bir çox qədim sivilizasiyalar tərəfindən bilinsə də, onun ilk praktik tətbiqi Misirdə meydana çıxır.

Eramızdan əvvəl 2000-ci ildə həndəsənin doğulduğu torpaqlarda yaşayan misirlilərin üçbucaqlar və piramidalar haqqında bəzi həndəsi təsəvvürləri var idi. Məsələn, ipin uzanması piramida kimi strukturların tikintisində düz üçbucaqlar əldə etmək üçün istifadə edilən bir üsul idi. Hipotenuz sözü yunanca “qarşılıqlı uzanma” sözündən gəlir.

Pifaqor münasibəti üçbucağın tərəfləri arasında əsas əlaqəni quran Evklid həndəsəsində ilk teoremlərdən biri idi. Simli alətlər teoremin real həyat nümunəsi kimi göstərilə bilər; Bu, “tel nə qədər uzun olarsa, vibrasiya da bir o qədər yüksək olar” prinsipinə əsaslanır. Pifaqor tənliyi adlanan bu teorem a, b və c tərəfləri arasındakı əlaqəni aşağıdakı kimi izah edir:

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}

burada c hipotenuzanın uzunluğunu, a və b isə üçbucağın digər iki tərəfinin uzunluğunu ifadə edir. Tarixdə qızğın müzakirə edilən teorem qədim yunan filosofu və riyaziyyatçısı Pifaqorun (Πυθαγόρας, e.ə. 570 – e.ə. 495) şərəfinə adlandırılıb.

Bu teorem yüksək ölçülü fəzalardan tutmuş qeyri-evklid fəzalarına, düz üçbucaq olmayan cisimlərə və əslində üçbucaq olmayan cisimlərə, n ölçülü bərk cisimlərə qədər müxtəlif yollarla inteqrasiya oluna və ümumiləşdirilə bilər. Pifaqor teoremi riyazi abstraksiya, mistik və ya intellektual gücün simvolu kimi riyaziyyatın marağına səbəb oldu; Ədəbiyyatda, filmlərdə, müzikllərdə, mahnılarda və cizgi filmlərində də məşhur olmuşdur.

Pifaqor teoreminin düsturunun törəməsi Düzbucaqlı ABC üçbucağını nəzərdən keçirək, B nöqtəsində düzbucaqlıdır. D nöqtəsində AC ilə BD görüşən perpendikulyar çəkin.

Pifaqor teoremi: Misir üçbucağı

 Misirlilər bunun üçün uzunluğu 12 vahid olan düyünlü ipdən istifadə etdilər. Bu tip iplərlə tərəfləri 3:4:5 vahid olan düz üçbucaqlar düzəltdilər. Sonra bu kəndirlərin köməyi ilə əkin sahələrini ölçdülər. İp uzanan irsinə görə 3:4:5 düzbucaqlı üçbucağı Misir üçbucağı kimi də tanınır.

Pifaqor teoremi isbatları

Triqonometriya və ya analitik həndəsə bu teoremi sübut etmək üçün istifadə edilə bilməz. Çünki onların formalaşması artıq Pifaqor tənliyindən asılıdır. Amerikalı riyaziyyatçı Elisha Scott Loomis bir çox riyaziyyat kitabı yazıb. Lakin bunların arasında ən diqqət çəkəni onun iki hissədən ibarət “Pifaqor təklifi” kitabı olub. Kitabda 109 cəbri isbat və 255 həndəsi sübut daxil olmaqla cəmi 370 dəlil var. (Cəmi 370-ə bərabər olan 4 quaternionic və 2 dinamik sübut da var). Sübutların bəziləri üçbucaqların oxşarlığına, bəziləri onların təhlilinə, bəziləri cəbri düsturların istifadəsinə və çox az hissəsi vektorların istifadəsinə əsaslanır.

Pifaqor teoreminin sübutu: Evklidin kitabında

ABC düzbucaqlı üçbucaq olsun, BAC bucağı düz bucaqdır. BC tərəfində BDEC kvadratını, BA və AC tərəflərində isə GB və HC kvadratlarını çəkin. BD və ya CE-yə paralel AL xətti seqmentini çəkin. AD və FC çəkin.

BAC və BAG düz açılardır. AC və AG tərəflərinin və BA xətti seqmentinin A nöqtəsindəki bitişik bucaqların cəmi iki düz bucağa bərabər olduğundan, CA və AG xətt seqmentləri eyni istiqamətdədir. Eyni səbəbdən, BA və AH eyni istiqamətdədir. DBC və FBA bucaqları bir-birinə bərabər olan düz bucaqlardır. Onların hər birinə ABC bucağını əlavə edək. Bu halda DBA bucağı da FBC bucağına bərabərdir.

DB tərəfi BC tərəfinə, FB tərəfi BA tərəfinə bərabərdir. AB və BD tərəfləri müvafiq olaraq FB və BC tərəflərinə, ABD bucağı FBC bucağına bərabər olduğundan, AD tərəfi də FC tərəfinə bərabərdir və ABD və FBC üçbucaqlarına uyğundur. BD və AL eyni paraleloqramlar altında eyni BD əsasına malik olduğundan, BL paraleloqramının sahəsi ABD üçbucağının sahəsindən iki dəfə böyükdür.Yenə də eyni FB və GC paraleloqramları altında eyni FB əsasına malik olduqları üçün sahə GB kvadratı FBC üçbucağının sahəsindən iki dəfə böyükdür.

Pifaqor teoremi isbatı:Garfield isbatı

Digər maraqlı sübut isə onun Ann Kondit adlı amerikalı gənc qız tərəfindən hazırlanmasıdır. 1938-ci ildə hələ 16 yaşında lisey şagirdi olarkən sübutunda istifadə etdiyi həndəsi rəsm heç bir məşhur riyaziyyatçının ağlına belə gəlməmişdi. Hətta ABŞ-ın 20-ci prezidenti Ceyms Qarfild də Pifaqor teoreminin sübutlarından birini yerinə yetirmişdir. Bütün sübutlar arasında Garfieldin yanaşması ən sadə və başa düşülənlərdən biridir.

Pifaqor teoremi üçbucaqları

Düzbucaqlı üçbucaqlar Pifaqor teoreminin qaydasına əməl edir və onlara Pifaqor teorem üçbucaqları deyilir. Belə bir üçbucağın üç tərəfi birlikdə Pifaqor üçlüyü adlanır. Bütün Pifaqor teorem üçbucaqları hipotenuzun  kvadratının düzbucaqlı üçbucağın iki tərəfinin cəminə bərabər olduğunu söyləyən Pifaqor teoreminə əməl edir. Bunu c2 = a2 + b2 kimi ifadə etmək olar; burada ‘c’ hipotenuzdur və ‘a’ və ‘b’ üçbucağın iki ayağıdır.

Pifaqor teoremi:Tətbiqi nümunə

Tutaq ki, hipotenuzun uzunluğu 15 metr, bir ayağının uzunluğu 10 metr olan düzbucaqlı üçbucağımız var, o biri ayağı nə qədərdir? Beləliklə, əməliyyatı inkişaf etdiririk: 152=102+ x2 225 = 100 + x2 x2=125 x = 11.1803 metr Başqa bir məşqə baxaq. Tərəfləri 8, 11 və 14 metr olan üçbucağın olduğunu söyləyə bilərsiniz. Düzbucaqlı üçbucaq ola bilərmi? 82+112=64+121=185 142=196 185 ≠ 196 Buna görə də üçbucaq düz ola bilməz (qeyd edək ki, bu nöqtədə hipotenuz həmişə ayaqlardan daha çox ölçür). İndi bu teoremin tətbiqinə üçüncü misal olaraq, fərz edək ki, bizə tərəfləri 12 metr olan bir kvadratın olduğu deyilir. Onun diaqonalının uzunluğu nə qədərdir? Bu vəziyyətdə, kvadratın daxili bucaqlarının 90º olduğunu unutmamalıyıq. Buna görə də, diaqonal çəkdiyimiz zaman şəkli iki düzbucaqlı üçbucağa bölürük (aşağıdakı şəkildə göründüyü kimi).

Beləliklə, diaqonalın uzunluğu (x) olacaq: 122 + 122 = x2 144 + 144 = x2 x2 = 288 x = 16.9706 metr

Pifaqor teoreminin tətbiqi

Pifaqor teoreminin tətbiqlərini gündəlik həyatımızda görmək olar.

Pifaqor teoreminin tətbiqlərindən bəziləri:

Pifaqor teoremi: Mühəndislik və İnşaat sahələri

Əksər memarlar naməlum ölçüləri tapmaq üçün Pifaqor teoreminin texnikasından istifadə edirlər. Uzunluq və ya genişlik məlum olduqda, müəyyən bir sektorun diametrini hesablamaq çox asandır. Əsasən mühəndislik sahələrində iki ölçüdə istifadə olunur.

Pifaqor teoremi:Təhlükəsizlik kameralarında üz tanıma

 Təhlükəsizlik kameralarında üz tanıma funksiyası Pifaqor teoreminin konsepsiyasından istifadə edir, yəni təhlükəsizlik kamerası ilə şəxsin yeri arasındakı məsafə qeyd edilir və konsepsiyadan istifadə edərək obyektiv vasitəsilə yaxşı proyeksiya edilir.

Pifaqor teoremi:Taxta işləri və interyer dizaynı

Pifaqor konsepsiyası daxili dizaynda və evlərin və binaların memarlığında tətbiq olunur.

Pifaqor teoremi:Naviqasiya

Dənizdə səyahət edən insanlar bu texnikadan ən qısa məsafəni və maraqlandıqları yerlərə getmək üçün marşrut tapmaq üçün istifadə edirlər.