Həqiqi ədədlər

Həqiqi dünyada tapıla bilən istənilən rəqəm həqiqi rəqəmdir. Ətrafımızda hər yerdə nömrələrlə rastlaşırıq. Natural ədədlər cisimlərin sayılması üçün, rasional ədədlər kəsrlərin ifadəsi üçün, irrasional ədədlər ədədin kvadrat kökünün hesablanması üçün, tam ədədlər temperaturun ölçülməsi üçün və s. Bu müxtəlif növ ədədlər həqiqi ədədlər toplusunu təşkil edir. Həqiqi ədədlər və onların mühüm xassələri haqqında məlumatlara nəzər salaq.

Həqiqi ədədlərin mənşəyi         

Riyaziyyatda həqiqi ədədlər dəsti (həqiqi və ya həqiqi ədədlər) fransız reel “real” sözündən gəlir. Bu, mütənasib ədədlər (rasional ədədlər) çoxluğunun təkamül prosesindən əldə edilən fərziyyələrin birləşməsidir. Həqiqi ədədlər çoxluğu {\displaystyle \mathbb {R} }{\displaystyle \mathbb {R} } simvolu ilə işarələnir.

Hər bir mütənasib ədəd (rasional ədəd) həqiqi ədəddir; Vergüldən sonra bloklarla təkrarlanan onluq genişlənməsinə (0 daxil olmaqla) malikdir. Misal üçün,

{\ displaystyle {\ frac {1}{4}}=0,2500000….}{\displaystyle {\frac {1}{4}}=0,2500000….}

tənlikdə olduğu kimi. Burada qeyd etmək lazımdır ki, bir müddətdən sonra bloklarda onluq yerlərdə olan ədədlərin dövri təkrarlanmasıdır. Bunu aşağıdakı kimi sübut etmək olar: m, n iki tam ədəd (n mənfi) olsun. m-ni n-ə bölərkən (bölmə alqoritminin fərziyyəsini tətbiq etməklə), m/n nisbəti nömrəsinin onluq ifadəsi istənildikdə, birinci addımda qalan 0 və n arasında olacaqdır. Biz qalanın yanına sıfırlar əlavə etməklə bölməyə davam edəcəyik və növbəti addımda qalıq 0 ilə n arasında olacaq. Sonsuz addımlarla sonlu sayda dəyər ala bilən qalıq bir müddət sonra eyni dəyəri alacaq və özünü təkrarlayacaq.

Mütənasib ədədlərdən həqiqi ədədlərin alınması prosesi isə genişlənmədə olan ədədlərin dövri olaraq təkrarlanmadığı ədədlərin toplanması kimi düşünülə bilər. Bu tipdən sonra aldığımız həqiqi ədədlərə qeyri-mütənasib ədədlər və ya irrasional ədədlər deyilir.

Həqiqi ədədlər nədir?

         Kompleks ədədlər istisna olmaqla, ağlımıza gətirə biləcəyimiz istənilən ədəd həqiqi ədəddir. Həqiqi ədədlərə müsbət və mənfi tam ədədlər, kəsrlər və irrasional ədədlər kimi rasional ədədlər daxildir. R ilə işarələnən həqiqi ədədlər çoxluğu rasional ədədlər çoxluğunun (Q) və irrasional ədədlər çoxluğunun birləşməsidir.

¯¯¯¯

Q

). Beləliklə, biz həqiqi ədədlər çoxluğunu R = Q ∪ şəklində yaza bilərik

¯¯¯¯

Q

.        Bu onu göstərir ki, həqiqi ədədlərə natural ədədlər, tam ədədlər, tam ədədlər, rasional ədədlər və irrasional ədədlər daxildir. Məsələn, 3, 0, 1.5, 3/2, √5 və s. həqiqi ədədlərdir.

         İndi hansı rəqəmlər həqiqi rəqəmlər deyil? Nə rasional, nə də irrasional olmayan ədədlər qeyri-real ədədlərdir, məsələn, √-1, 2 + 3i və -i. Bu ədədlərə kompleks ədədlər çoxluğu daxildir, C.

Həqiqi ədədlərin qurulması

İrrasional ədədlər və mütənasib ədədlər çoxluğu həqiqi ədədlər çoxluğunu təşkil edir. Bu çoxluğa həqiqi ədədlər və ya həqiqi ədədlər də deyilir. Həndəsədə rast gəlinən bəzi böyüklükləri anlamlandırmaq üçün Klassik Yunan Dövründə ümumi inanca görə Pifaqor və tələbələri tərəfindən ədəd anlayışına daxil edilmişdir. Deyilənlərə görə, Pifaqor təbiətdəki bütün böyüklüklərin rasional ədədlərlə ifadə oluna biləcəyini deyirdi. Amma tapdığı hipotenuz tənliyi nəticəsində x2 = 2 kimi qiymətlə qarşılaşdı. Uzun illər o, bu cür ədədlərin uzun kəsrlərlə ifadə oluna biləcəyini iddia etdi və göstərməyə çalışdı, lakin tələbələrindən biri belə ədədlərin heç vaxt kəsr şəklində göstərilə bilməyəcəyini sübut edəndə o, əmin oldu, lakin o, bütün həyatı boyu bu rəqəmləri kəsr şəklində saxlamaq üçün çalışdı. gizli və təbiətdə həqiqi ədədlərə yer olmadığını söyləməyə davam etdi. . Həqiqi ədədlər çoxluğu R hərfi ilə təmsil olunur.

Həqiqi ədədlərin növləri:

         Biz bilirik ki, həqiqi ədədlərə rasional ədədlər və irrasional ədədlər daxildir. Beləliklə, nə rasional, nə də irrasional olmayan heç bir həqiqi ədəd yoxdur. Bu sadəcə o deməkdir ki, R-dən hər hansı bir ədəd seçsək, ya rasionaldır, ya da irrasionaldır.

Rasional ədədlər:

Kəsr p/q şəklində təyin oluna bilən istənilən ədədə rasional ədəd deyilir. Kəsrdəki pay ‘p’, məxrəc isə ‘q’ kimi təmsil olunur, burada ‘q’ sıfıra bərabər deyil. Rasional ədəd natural ədəd, tam ədəd, onluq və ya tam ədəd ola bilər. Məsələn, 1/2, -2/3, 0,5, 0,333 rasional ədədlərdir.

İrrasional ədədlər:

 İrrasional ədədlər p/q kəsr şəklində ifadə edilə bilməyən həqiqi ədədlər toplusudur, burada ‘p’ və ‘q’ tam ədədlərdir və ‘q’ məxrəci sıfıra bərabər deyil (q≠0.). Məsələn, π (pi) irrasional ədəddir. π = 3,14159265…Bu halda, onluq qiymət heç vaxt heç bir nöqtədə bitmir. Buna görə də √2, -√7 və s. kimi ədədlər irrasional ədədlərdir.

Həqiqi ədədlərin alt çoxluqları

Kompleks ədədlərdən başqa bütün ədədlər həqiqi ədədlərdir. Beləliklə, həqiqi ədədlərin aşağıdakı beş alt çoxluğu var:

Natural ədədlər: Bütün müsbət sayma ədədləri natural ədədlər toplusunu təşkil edir, N = {1, 2, 3, …}

Tam ədədlər: 0 ilə birlikdə natural ədədlər çoxluğu tam ədədlər çoxluğunu təmsil edir. W = {0, 1, 2, 3, ..}

Tam ədədlər: Bütün müsbət sayma ədədləri, mənfi ədədlər və sıfır tam ədədlər toplusunu təşkil edir. Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

         Rasional ədədlər: Kəsr p/q şəklində yazıla bilən, burada ‘p’ və ‘q’ tam ədədlərdir və ‘q’ sıfıra bərabər olmayan ədədlər rasional ədədlərdir. Q = {-3, 0, -6, 5/6, 3.23}

         İrrasional ədədlər: √2 kimi müsbət rasional ədədlərin kvadrat kökləri, rasional ədədlərin kub kökləri və s. olan ədədlər irrasional ədədlər çoxluğunun altına düşür.

Həqiqi ədədlərin xassələri hansılardır?

Dörd əsas xüsusiyyət var: kommutativ mülkiyyət, assosiativ mülkiyyət, paylama mülkiyyəti və şəxsiyyət mülkiyyəti. Bütün bunları xüsusilə izah etmək üçün; Nəzərə alın ki, “m, n və r” üç həqiqi ədəddir. Sonra yuxarıdakı xassələri aşağıda göstərildiyi kimi m, n və r istifadə edərək müəyyən etmək olar.

Kommutativ Mülkiyyət

Əgər m və n ədəddirsə, ümumi forma toplama üçün m + n = n + m, vurma üçün isə mn = nm olacaqdır.

Əlavə: m + n = n + m. Məsələn, 5 + 3 = 3 + 5, 2 + 4 = 4 + 2

Vurma: m × n = n × m. Məsələn, 5 × 3 = 3 × 5, 2 × 4 = 4 × 2

Birləşdirici xüsusiyyət

 Əgər m, n və r ədədlərdirsə; toplama üçün m + (n + r) = (m + n) + r vurma üçün (mn) r = m (nr) olacaqdır.

Əlavə: Ümumi forma m + (n + r) = (m + n) + r olacaqdır. Additiv assosiativ xassə nümunəsi 10 + (3 + 2) = (10 + 3) + 2-dir.

Vurma: (mn) r = m (nr). Multiplikativ əlaqə xassəsinə misal olaraq (2 × 3) 4 = 2 (3 × 4) ola bilər.

Bölmə Xüsusiyyəti:

Üç mahiyyətcə həqiqi m, n və r ədədləri üçün paylanma xassəsi aşağıdakı kimi təmsil olunur:

m (n + r) = mn + mr və (m + n) r = mr + nr.

Dağılma xassəsinə misal: 5(2 + 3) = 5 × 2 + 5 × 3. Burada hər iki tərəf 25 verir.

Şəxsiyyət Əmlakı

 Toplama və vurma idləri var.

Əlavə etmək üçün: m + 0 = m. (0 töhfə ID-sidir)

Vurma üçün: m × 1 = 1 × m = m. (1 multiplikativ eynilikdir)

Həqiqi ədədlər haradan başlayır?

 Rəqəmlərə gəldikdə, bu, həqiqi ədədlərin haradan başladığını bilmək üçün sonsuzluğa aparan bir yoldur. həqiqi ədədlər; Təbii və tam ədədlər, tam ədədlər, rasional və irrasional ədədlər daxil olmaqla bütün ədədlərin ümumi tərifidir.

Həqiqi ədədlər mənfi ola bilərmi?

          Bəli. Həqiqi ədədlərə mənfi ədədlər də daxildir.

 Sıfır həqiqi rəqəmdir?

          Sıfır həm həqiqi, həm də xəyali ədəd hesab olunur. Bildiyimiz kimi, xəyali ədədlər müsbət olmayan həqiqi ədədlərin kvadrat köküdür. 0! qeyri-müsbət ədəd olduğundan, xəyali ədədin meyarlarına cavab verir. Halbuki 0 həm də ədəd xəttində müəyyən edilmiş rasional ədəddir və deməli, həqiqi ədəddir.